秦岚 ai换脸 《数学概不雅》：解释大学数学基本念念想的一册好书
最近几十年来，国内只出书了很少的几种对于大学数学课程的专科科普读物，这远不成霸道广大学习数学的大学生们的进军需要。与中学里教的初等数学比较，大学数学的内容真是是太丰富和太复杂了，它凝合了四百多年来东说念主类最理智的大脑所创造出来的极其优好意思的智谋后果。与别的学科绝对不同秦岚 ai换脸，数学主要筹议的是概述的“格式（pattern）”而不是具体什物或景象，它具有极其漫长的发展历史。大学数学作为天然科学和社会科学的基础，如故在许多畛域里起着要津性的作用。
大学数学名义上比较严谨和没趣的课程内容，每每笼罩了极其丰富的念念想内涵。数学家卡斯蒂（J. L. Casti） 也曾说过：“在数学中，要讲述真义是极其穷困的，数学表面的时事化的呈文并莫得讲清一王人的真义。”在大学数学的教学中东说念主们逐渐发现，只须按照数学发展的步调来学习和磨真金不怕火数学，也即是将数学念念想逐渐演进的历史历程与数学课程体系中严格的逻辑推理历程有机地勾搭起来，补充上无数的具体例子，以及在数学表面形成历程中被断念的中间发展模范，才智使入门者们真确理解在细密概述的数学想法与定理的背后的深切念念想内涵。数学史是学习与传播当代数学的极好阶梯。借助于数学史，不错让东说念主们了解历史上数学家们朴素而又深切的数学念念想，是何如一步步发展成为今天蔚为大不雅、分支宽绰，且又十分概述的当代数学表面的。
这就相当需要咱们在旧例的课堂教学除外，提供给大学生们一定数目的对于大学数学的专科科普读物，来加深他们对于教科书中深奥的数学念念想的理解。本文所先容的《数学概不雅》即是这么的一册对于大学数学的讲求的优秀科普读物，它充分地诈欺了数学史的不雅点与材料，来解释大学数学中最基本的数学念念想。《数学概不雅》翻译自瑞典著明数学家戈丁（Lars Gårding）写的《Encounter with Mathematics（遭逢数学）》一书，这本书的英文原版由Springer-Verlag出书社在1977年出书。戈丁是一位分析学的行家，他在分析学畛域有许多设置，举例在偏微分方程表面中有一个著明的不等式“戈丁不等式（Gårding’s inequality）”即是以他的名字定名的。高级耕种出书社在2001年也曾翻译出书过戈丁写的另一册数学著述《分析学中的多少问题卓著历史》。
《数学概不雅》的译者是我国著明数学史大家胡作玄先生。试验上，科学出书社早在1984年就出书了这个中译本，那时的封面（它比较接近英文原版的封面）是：
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图1：《数学概不雅》1984年中译本封面
戈丁在《数学概不雅》的弁言中，这么先容了他写此书的想法：
““我写这本书是给如故知说念一些数学的读者看的，特殊是给读完高中以后在学习大学一年齿的学生看的。本书的想法即是要给大学低年齿学生所碰到的数学内容提供历史的、科学的以及文化的基本框架。从“数论”到“应用”这九章即是为达到这个想法而写的。每一章的驱动都有历史的小引，接着对于一些基身手实进行紧凑而完备的敷陈，一直谈到所筹议的内容确刻下现象；如果可能的话，也要波及一些近代的筹议职责。大多数章节都援用历史上的数学论文中的一两段话来斥逐。”
”在2001年，科学出书社庄重将《数学概不雅》列入了“数学名著译丛”丛书，其封面变成了咫尺的封面：
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图2：《数学概不雅》2001年版的封面
《数学概不雅》一共有12章，除了第一章和终末一章简要先容了数学模子和数学教学方法，以及只叙述微积分历史的第六章外，其余的九章辞别讲了初等数论、概述代数、线性代数、泛函分析、拓扑学、微积分、微分流形、概率论和数值算计（数学应用）等课程中最基本的念念想方法。底下按照该书章节的步调，对《数学概不雅》中所先容的内容，作一些简单的阐发与分析。
一、数论的基本念念想《数学概不雅》的第二章主要先容了初等数论和代数数论中最基本的念念想。该书先是以灵通的笔触先容了素数定理、费马小定理和二次互反律等最经典的初等数论内容，然后以高斯整数为切进口，简单讲了代数数和代数整数等代数数论里最基本的想法，而况用线性方程组解的基本定表面证了代数数（代数整数）的整数倍、和以及乘积也都是代数数（代数整数）。
试验上，代数数论是初等数论最天然的践诺，而代数数论又是概述代数的一个径直的念念想来源和应用场面。学生们在后头学习极其时弊的概述代数课程时，遇到的一个主要穷困是嗅觉内容比较贫苦与顶点概述，原因即是他们从来莫得学过最基本的初等数论和代数数论，不了解概述代数表面的直不雅布景。举例“原根”是初等数论内部一个很基本的想法，然则理解起来有些穷困，然则如果从群论的角度来看原根，就变得比较简单和相当明晰了（原根是单元群的生成元）。反过来，原根的想法也不错匡助学生更好地学习和掌执群论的念念想方法。
咫尺大多数大学的数学系在低年齿都不开设数论方面的课程，这其实不利于学生在以后学习概述代数以卓著他当代数学方面的课程。恰是因为这个原因，十多年前著明数学家冯克勤老诚在担任清华大学数学系主任的时分，就制定了将初等数论课程作为一年齿数学基础课程的教学谋划。学生们学了初等数论后，就不错在以后进一步学习代数数论妥协析数论这两门课程，从而为干与当代数学的殿堂作好准备。这是因为数论畛域咫尺如故成为了无数当代数学表面的应用场面，用以磨练这些数学表面的灵验性，举例算术（代数）几何即是将代数几何的方法诈欺到数论里而产生的一个新的分支学科。又如在数论中筹议著明的黎曼zeta函数的时分，需要诈欺复变函数论的方法等等。
二、概述代数的基本念念想《数学概不雅》的第三章主要先容了概述代数中最基本的念念想方法。作家按照概述代数历史发展的阶梯，先是简要讲述了与环论密切联系（亦然比较容易理解）的多项式表面，从中得出环的基本想法与性质。与环访佛的时弊想法是域的想法，作家要点解释了代数元素、梦想、诺特环等最基本的想法，还先容了在代数几何里很时弊的希尔伯特零点定理。接下来秦岚 ai换脸，作家详确地先容了群论中常用的一些基本想法和联系论断，以至还讲了伽罗瓦表面中比较深奥的基本定理，使读者简略对群论的内容卓著作用有一个初步的了解。
咫尺，概述代数如故发展成为了当代数学中一个弘大的畛域，它包括了线性代数、群论、环论、域论、模论、李群、交换代数、同调代数、示意论、规模论中分支学科，它不仅为一王人数学提供有劲的用具，而且在物理学、化学、算计机科学、按捺论等学科中有闲居的应用，因此概述代数在统统这个词数学系课程体系中的地位也变得越来越时弊。
在上个世纪初，“代数学”一词主如果指经典的代数方程表面，而到了上世纪的中世，代数学才分红了经典代数和概述代数，前者即是代数方程表面，后者则包含了对于群、环和域等代数结构的表面。古典的代数方程表面在昔时是数学系的一门课程，自从上世纪60年代概述代数干与大学数学系的课程后，它就不再讲了，关联词代数方程表面属于学生应该知说念的近代数学常识，不了解这些常识就不成更好地理解概述代数课程的内容。
在历史上，群论和域论的最基本想法都发源于对代数方程表面的筹议。具体来说，群论和域论发源于法国数学家伽罗瓦在筹议一元代数方程的解是否有根式示意问题时所作出的时弊发现，他发现不错将复杂的扩域问题滚动为比较简单的具有对称性的置换群结构问题，从而透彻处理了5次及以上的代数方程何时有根式解的经典问题。与此同期，东说念主们在筹议数论（特殊是证明费马大定理）的历程中，以感恩金为代表的一些数学家逐渐形成了环的梦想表面。到了20世纪的20年代末，数学家范德瓦尔登写出了经典名著《代数学》，它系统总结了概述代数的基本表面，对当代数学的发展影响极大。关联词缺憾的是，在范德瓦尔登的《代数学》中，并莫得给出概述代数表面的形成历程，许多其后写的概述代数的教科书基本上不竭了这种作念法，这给学生们学习和理解概述代数形成了不小的穷困。咫尺海外如故有一些优秀的概述代数教材驱动校正这种不讲一脉疏导的讲法，充分地解释概述代数表面的各式念念想来源和应用，举例由数学家M. 阿丁（M. Artin）编写的《Algebra（代数）》（有机械工业出书社的影印本和翻译本）即是这么的一册好教材。
三、线性代数（高级代数）的基本念念想《数学概不雅》的第四章的前半部分主要先容了线性代数中最基本的念念想。作家在这一章的着手这么强调了线性代数的时弊性：“如果不熟练线性代数的想法，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习天然科学，咫尺看来就和文盲差未几，以至可能学习社会科学亦然如斯。”
作家当先讲了线性代数的三个来源：欧氏几何、解析几何与线性方程组。该书用一种比较平庸的方法详确论证了对于线性方程组解的基本定理，然后讲了线性映射的想法，以及它们的矩阵示意，还先容了逆矩阵、行列式和特征多项式等基本想法。对于最基本的线性空间想法，作家留心于解释其中向量的线性关系，以及基向量的时弊性。该书仔细地先容了线性变换的基本表面，其中就包括了不变子空间和特征值等内容。
在海外，线性代数课程的内容大致分为了两大部分：第一部分（初等线性代数）包括了矩阵论、行列式、线性方程组等内容，第二部分（高级线性代数）则主要包括了线性空间、线性变换、欧氏空间等比较概述的内容。海外的一些教材每每将第二部分放在概述代数中来讲，举例前边提到的那本由M. 阿丁写的《Algebra（代数）》即是这么作念的。这从一个侧面阐发了学生们在学习第二部分时会遇到某些穷困的真确原因：线性空间和线性变换是从各式具体的线性空间和线性变换中概述出来的两个一般的代数想法，线性空间与线性变换的表面在本色上是一种代数结构的表面，具有一定进程的概述性。
在历史上，线性空间与线性变换的表面大致出咫尺了20世纪初，东说念主们在筹议积分方程的求解问题以及联系的泛函分析问题时，逐渐产生了线性变换的特征值的想法，这个想法是矩阵特征值想法的深切践诺。举例在积分方程的筹议中，需要算计访佛 这么的线性变换的特征值，其所对应的特征向量不错用来构造联系的积分方程的解，这里的
《数学概不雅》的第五章主要先容了极限论与拓扑学中最基本的念念想。作家在本章中秦岚 ai换脸当先先容了德国数学家感恩金何如为实数表面建造了一个公理体系，从而为微积分和数学分析表面奠定了严格的逻辑基础。在数学分析的讲义中，大多对很是数的感恩金分割界说讲得比较概述，关联词在本书中，作家却讲得比较平庸而明晰。有了实数的严格界说和最小上界（即上确界）公理，就简略严容庄容地给出数列极限的
不仅如斯，作家在本章还进一步先容了与极限论密切联系的拓扑学方面最基本的一些常识，这其中就包括了开集、闭集和紧集的想法。该书用比较平庸的言语解释了拓扑空间、邻域、同胚、连通等时弊想法，而况作为拓扑学方法的示范，还仔细解释了代数学基本定理的拓扑证明方法和筹议代数弧线的黎曼曲面方法。
之是以要在讲微积分前系统地讲解晰极限的表面，主如果想为统统这个词微积分和数学分析课程打好一个坚实的数学表面推理的基础。历史上在微积分表面发展了快要两百年后，才缓缓出现了严格的极限表面。极限论的主要想法是为了处理在求微分或导数、求积分、以及判别级数的拘谨性时出现的各式穷困问题。举例，是不是认知函数都可微？若一个函数在每极少可微，那么它的导函数是否认知？在历史上还也曾出现过令东说念主震悚的认知但不可微函数的例子。为此必须仔细地查考导数的界说卓著基人道质，以及筹议函数的认知性，而不是只是依赖于“认知”的直不雅形象。在此之前就势必要引入函数极限的严格界说，也即是函数极限的
试验上，
在第七章讲微分学之前，《数学概不雅》挑升安排了只讲历史的第六章“硬人世纪”，来简要讲述以牛顿和莱布尼茨为代表的一批17世纪数学家创造微积分的逶迤历程，从中强调了微积分不是只须简单的微分与积分两种运算，而是具有从无尽细分再到无尽累加的极其精密的念念维特征，而况还包含了几何学说念理上的要紧打破，这套十分优好意思的微积分表面是在处理无数的几何学与物理学筹议问题的历程中难懂出身的。
第七章的着手部分先讲了导数和微分法规，此时为了阐发微分学的用处，作家先容了一些对于常微分方程的内容，具体来说是通过解一些最简单的常微分方程，来推导出开普勒的行星三大定律，这充分泄露了微积分在处理试验问题中的巨大威力，同期也读者简略比较深入地理解微分学方法的精髓。
然后作家仔细解释了中值定理和反函数的可微性定理。有了中值定理，就不错用它和第四章讲的压缩映射定理，来严格地证明常微分方程解的存在性和独一性定理，使读者看到了中值定理和压缩映射定理的真确用处。
接下来，作家讲了十分基本的多元函数微分法。诈欺中值定理就不错简短地证明多元函数的统统二阶偏导数都尽头。书中还先容了很时弊的多元函数的泰勒公式、链式法规和雅可比矩阵，以及它们的用处。
为了阐发多元函数微分法的用途，作家还特殊安排了一节来挑升解释偏微分方程的基本想法，这是十分斗胆而又正确的作念法。这是因为多元微积分中的许多内容其实主要即是在为解偏微分方程作准备的（天然也为其他一些数学课程作准备），举例磋磨弧线积分与曲面积分的高斯公式（即散度定理），即是筹议斡旋方程解的性质的有劲用具。顺应地先容极少偏微分方程的常识，不错灵验地减少学生在学习多元微积分时的盲目性。在这里作家只讲了弦振动方程和热传导方程这两个最简单的线性方程，阐发了它们的解的想法，以及解的基人道质，由此不错进一步引发起读者学习多元函数微分法的酷好。
在历史上，许多波及指导与演化的数学、物理和时刻问题的筹议都不错化归为微分方程的求解问题，这是因为反馈天然轨则的量与量之间函数关系每每不成径直写出来，而此时却比较容易建造这些变量与它们的导数（或偏导数）之间的关系式。固然一般来说，绝大多数的微分方程都是比较难以求解的，然则对于学生来说，时弊的是掌执一些处理微分方程问题最基本的念念想方法，而不是着眼于求解某一类具体的微分方程。
七、积分学与实变函数论的基本念念想《数学概不雅》的第八章主要先容了积分学与实变函数论中的一些最基本的念念想方法。在讲积分学时，作家当先从相当直不雅的算计面积和体积的问题驱动讲起，先从曲边梯形面积的导数算计，径直得出牛顿-莱布尼茨公式。然后作家详确地张开对于黎曼积分的界说卓著性质的敷陈，特殊是常用的积分号下求导数、累次积分、广义积分等内容，要点是解释积分号下求导数，以及按捺拘谨定理。接下来作家诈欺这个按捺拘谨定理和分部积分公式，来推导证明很基本的傅里叶反演公式，而况还先容了与此联系的广义函数和斡旋分析的一些念念想。
学生们在学习含参变量的积分这部天职容时，每每不睬解像积分号下求导数这类运算究竟派什么用处。作家在这里所举的傅里叶反演公式的例子即是这方面的一个典型示规范子，学生们不错从中学到一些很有用的分析妙技。
在讲实变函数时，作家从高维空间
实变函数论里的要点是勒贝格积分的表面。咱们知说念，数学分析中的黎曼积分适用于基本上认知的函数。为了扩大可积函数类，改善积分的性质，就需要引入勒贝格积分，这种积分具有比黎曼积分更优良的性质，因此它的用处其实比黎曼积分更大，像斡旋分析和泛函分析等高一级的分析学分支学科都需要建造在勒贝格积分表面的基础之上。然则另一方面，在实变函数论课程中所进行的推理与证明又比数学分析中的推理愈加精密和艰深，因此学生们学习与理解起来也愈加穷困，这就需要让学生们加多一些对于实变函数论的一脉疏导的了解。
八、微分流形的基本念念想在《数学概不雅》的第七章和第八章中，作家还留心先容了微分流形表面所包含的一些最基本的念念想方法。微分流形的想法最早发源于3维欧氏空间里的光滑弧线与光滑曲面。从20世纪初驱动，法国数学家庞加莱发现了微分流形的一些拓扑不变量：同调群和同伦群，另外一位法国数学家E. 嘉当对一种被称为“李群”的特殊微分流形和微分时事的表面进行了深入的筹议，同期德国数学家外尔又建造了对于黎曼曲面的表面，统统这一切才使得微分流形的想法缓缓地廓清起来。跟着拓扑学和全体微分几何的快速发展，约莫到了20世纪的中期，就形成了咱们今天所说的微分流形表面，也即是微分流形上的微积分表面。
简单地说，微分流形即是一种概述的拓扑空间，它在局部不错与欧氏空间同胚，而况在全体上还覆盖了一组坐标卡，这么就赋予了流形一个微分结构。这个极为概述的想法凝合了几百年来数学发展的最精华的后果，为20世纪当代数学的大发展提供了一个广大的舞台。咫尺，微分流形的表面如故被诈欺到了数学与物理的许多分支学科中，其中就包括了黎曼几何、偏微分方程、拓扑学、李群、能源系统、莫尔斯表面、辛几何、黎曼曲面表面、复流形、代数几何、相对论与表面物理。
在微分流形的表面中，需要将经典微积分说念理下的微分时事践诺至微分流形上的微分时事。作家在第七章的终末部分里，从格拉斯曼代数动身，详确地先容了
接着，作家从
在筹议积分学的第八章的终末部分，作家还先容了微分流形上的积分方法，以此来从头并吞表述经典微积分里的弧线积分与曲面积分，并最终获得了微分流形上一般的斯托克斯公式
在《数学概不雅》的第九章中，作家主要讲了数学分析中的级数论，以及复变函数论最基本的念念想。作家当先回来了数项级数拘谨与发散的基本想法，然后留心筹议了函数项级数，特殊是给出了证明著明的阿贝尔定理的详确历程。接下来作家要点先容了幂级数的基本表面，其中就包括了拘谨半径的想法，而况从这里动身，进一步讲述用单复变量幂级数来界说解析函数的经典方法。复变函数论的这个相今日然的引入方法是由德国数学家魏尔斯特拉斯首创的，它深切揭示了解析函数的基人道质。
在经典微积分表面里所处理的函数主如果实函数，然则当咱们将微分与积分的表面平行地践诺到复函数时，就形成了一门新的表面——复变函数论，这个新表面与原来的微积分比较，内容不仅愈加丰富多彩，而且表面上也愈加无缺。这个新表面试验上开拓了通往当代数学的说念路，并最终产生了黎曼曲面、拓扑学和复几多么基础学科。
在本章的后头部分，作家从函数面对论的角度，初步先容了傅里叶级数的想法卓著基人道质。不管是从表面发展上看，照旧从试验应用的角度看，傅里叶级数都口舌常时弊的。
十、概率论的基本念念想《数学概不雅》的第十章主要先容概率论中最基本的念念想方法。早期的概率论只筹议比较简单的古典概型。到了20世纪，微积分表面通过认知随即变量这一时弊的阶梯而干与了概率论畛域，并进而产生了数理统计这门学科，东说念主们驱动发现概率论和数理统计在天然科学和社会科学中具有无数的应用。
尤物皇后作家在本章中先简单地讲了古典概型的一些基本想法，然后很快转入对随即变量卓著散播函数的先容，要点解释了随即变量的欲望、方差和特征函数等基本想法卓著算计方法。接着述者筹议了随即变量的和、大数定律和中心极按捺理等内容，而况还先容了数理统计的基本念念想，即通过弄明晰依赖于一组零丁随即变量的统计量（亦然随即变量）的散播函数，就简略针对试验问题中给出的论断进行统计推断（点推断和假定磨练）。本章的终末先容了概率论对于刻画物理学中布朗指导的一个应用。
十一、数值算计与数学应用中的基本念念想在《数学概不雅》的第十一章中，作家还先容了数值算计与数学应用最基本的念念想。作家先比较详确地先容了数值算计表面中最基本的一种算计方法——差分法，它不错用来算计微分方程的近似解。差分法的基本想法是将微分方程变成差分方程，从而不错形成迭代序列，因此这种方法特殊顺应在算计机上诈欺。
作家在本章中，还详确地给出了物理学中对于声息的一个数学模子问题的处理历程，这个数学模子被归结为解一个偏微分方程。作家想以此来阐发在应用数学中处理试验问题时所盲从的一般模范。
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